不等式 (−m)² − 4(−m + 3) > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗の項を整理する。 偶数乗は符号を消し去るので $(-m)^2=(-1)^2m^2=m^2$ である。ここを $-m^2$ と書いてしまうのはよくある取り違えで、放物線の向きが裏返るため問題そのものが別物になる。

2. 2

   −4 を括弧に分配する。 括弧の中の符号は両方とも変わる。

   $-4\cdot(-m)=+4m,\qquad -4\cdot 3=-12$

   したがって不等式は

   $m^2+4m-12>0$

   になる。（この形は、二次方程式が相異なる 2 つの実数解をもつための判別式の条件 $b^2-4ac>0$ としてよく現れる。）

3. 3

   三項式を因数分解する。 積が $-12$、和が $+4$ になる 2 数は $+6$ と $-2$ である。

   $m^2+4m-12=(m+6)(m-2)$

   よって不等式は $(m+6)(m-2)>0$ となる。

4. 4

   各区間で積の符号を読む。 臨界点は $m=-6$ と $m=2$ である。$m<-6$ では両方の因数が負なので積は正になる。$-6<m<2$ では前者が正、後者が負なので積は負になる。$m>2$ では両方とも正になり、積はふたたび正である。

5. 5

   積が正になる区間を選び、解そのものは除く。 不等号は等号を含まないので、積がちょうど $0$ になる $m=-6$ と $m=2$ は含まれない。

   $m<-6\qquad\text{または}\qquad m>2$

6. 6

   因数分解と解集合を検算する。 因数分解した形は $m$ の $401$ 個の標本値で展開した形と一致する ✓。また $-12$ から $12$ までの $2401$ 点を走査すると、符号の並びがすべての点で $(-\infty,-6)\cup(2,\infty)$ と合う ✓。