連立不等式 −x² + 3x + 4 ≥ 0 かつ 3x² − 5x ≥ 0 を解き、解集合を区間の和集合で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   「かつ」という語を、共通部分をとれという指示として読む。 それぞれの不等式が自分の解集合をもち、連立不等式が成り立つのはちょうど重なりの上だけである。したがって作業は、独立した 2 回の二次式の符号の分析と、最後の共通部分をとる 1 手に分かれる。

2. 2

   1 つ目の不等式を裏返して放物線を下に凸にする。 $-x^{2}+3x+4\ge 0$ の両辺に $-1$ を掛けると向きが逆になる。

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   放物線 $y=(x-4)(x+1)$ は下に凸なので、0 以下になるのはちょうど 2 解の間である。

   $-1\le x\le 4.$

3. 3

   $3x^{2}-5x$ は $x$ をくくり出して因数分解する。 定数項がないので因数分解はすぐにできる。

   $3x^{2}-5x=x(3x-5)\ge 0,\qquad\text{解は }x=0,\;x=\tfrac53 .$

   下に凸の放物線は 2 解の外側で $\ge 0$ になるので

   $x\le 0\quad\text{または}\quad x\ge \tfrac53 .$

   因数が $3x-2$ である姉妹問題と比べると、動くのは右側の解だけで、$\tfrac23$ から $\tfrac53$ へ移っている。

4. 4

   $[-1,4]$ と $(-\infty,0]\cup\left[\tfrac53,\infty\right)$ の共通部分をとる。 部分ごとに切ると

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad[-1,4]\cap\left[\tfrac53,\infty\right)=\left[\tfrac53,4\right],$

   となり、解集合は $[-1,0]\cup\left[\tfrac53,4\right]$ である。除かれるすき間 $\left(0,\tfrac53\right)$ は $3x-2$ の版より広く、2 つの答えの目に見える違いはそこだけである。

5. 5

   3 点で抜き取り検算する。 $x=0.5$：1 つ目は $-0.25+1.5+4=5.25\ge 0$ ✓、2 つ目は $0.75-2.5=-1.75<0$ ✗ となり、正しく除かれている。$x=2$：$6\ge 0$ ✓ かつ $12-10=2\ge 0$ ✓ で含まれる。$x=-1$：$-1-3+4=0\ge 0$ ✓ かつ $3+5=8\ge 0$ ✓ で、左端点は解集合に属する。