不等式 9x² + 48x − 576 ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

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   共通因数をくくり出す。 3 つの係数はどれも $3$ で割り切れる。

   $9x^2+48x-576=3\left(3x^2+16x-192\right)$

   $3>0$ だから、不等式をこれで割っても何も変わらない。

   $3x^2+16x-192\ge0$

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   因数分解できるか試し、できないことを確かめる。 因数分解するには、積が $3\times(-192)=-576$、和が $16$ になる整数が必要である。$576$ の因数の組 $(1,576),(2,288),(3,192),(4,144),(6,96),(8,72),(9,64),(12,48),(16,36),(18,32),(24,24)$ を順に見ていくと、符号つきで作れる和は $\pm575,\pm286,\pm189,\pm140,\pm90,\pm64,\pm55,\pm36,\pm20,\pm14,0$ である。どれも $16$ ではないので、この三項式は整数の範囲で既約である。よく引き合いに出される因数分解 $(x-6)(3x+32)$ を展開すると $3x^2+14x-192$ になり、$3x^2+16x-192$ ではない。中央の項が違っており、実際 $9(6)^2+48(6)-576=36\neq0$ なので $x=6$ はそもそも解ですらない。

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   代わりに解の公式を使う。 $3x^2+16x-192=0$ について

   $\Delta=16^2-4(3)(-192)=256+2304=2560$

   $x=\frac{-16\pm\sqrt{2560}}{6}$

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   根号を簡約する。 $2560=256\times10$ で $\sqrt{256}=16$ だから $\sqrt{2560}=16\sqrt{10}$ となり

   $x=\frac{-16\pm16\sqrt{10}}{6}=\frac{-8\pm8\sqrt{10}}{3}$

   数値では、$\sqrt{10}=3.16228$ として

   $x_1=\frac{-8+25.2982}{3}=5.76607,\qquad x_2=\frac{-8-25.2982}{3}=-11.09941$

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   放物線の開く向きから区間を選ぶ。 最高次の係数 $9$（簡約後なら $3$）は正なので放物線は下に凸であり、2 解の外側で $\ge0$ になる。

   $x\le\frac{-8-8\sqrt{10}}{3}\qquad\text{または}\qquad x\ge\frac{-8+8\sqrt{10}}{3}$

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   端点を含めて検算する。 不等号は等号つきなので、式がちょうど $0$ になる解そのものも解集合に属する。確かめると、どちらの解でも $9x^2+48x-576=0$ が $10^{-9}$ の精度で成り立つ ✓。さらに $-30$ から $30$ までの $6001$ 点を走査すると、すべての点でこの解集合と一致する ✓。区間で書けば $\left(-\infty,\tfrac{-8-8\sqrt{10}}{3}\right]\cup\left[\tfrac{-8+8\sqrt{10}}{3},\infty\right)$ である。