12x² − 176x + 480 を整数の範囲でできるだけ完全に因数分解し、その解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   最大公約数をくくり出す。 係数 $12$、$176$、$480$ はいずれも $4$ で割り切れる（$12=4\cdot3$ で $3\nmid176$ なので、これより大きい公約数はない）：

   $12x^2-176x+480=4\left(3x^2-44x+120\right)$

   順に確かめる：$4\cdot3=12$ ✓、$4\cdot44=176$ ✓、$4\cdot120=480$ ✓。

2. 2

   内側の三項式に AC 法を試す。 $3x^2-44x+120$ を整数の範囲で因数分解するには、積が $3\times120=360$、和が $-44$ となる 2 数が必要である。$360$ の約数の組は $(1,360),(2,180),(3,120),(4,90),(5,72),(6,60),(8,45),(9,40),(10,36),(12,30),(15,24),(18,20)$ であり、和はそれぞれ $361,182,123,94,77,66,53,49,46,42,39,38$ となる——組の両方の符号を変えても和の符号が変わるだけである。どれも $44$ にならないので、整数の範囲での因数分解は存在しない。

3. 3

   判別式で裏を取る。 $3x^2-44x+120$ については

   $\Delta=(-44)^2-4(3)(120)=1936-1440=496$

   であり、$496=16\times31$ は平方数ではない（$22^2=484$、$23^2=529$）。判別式が平方数でないことは、「有理数の範囲で因数分解できない」ことの判定条件そのものである。

4. 4

   この問題について出回っている因数分解を退ける。 答えとして $4(x-6)(3x-20)$ が挙げられることがあるが、展開すると

   $4(x-6)(3x-20)=4\left(3x^2-38x+120\right)=12x^2-152x+480$

   となる。中央の係数は $-152$ であって $-176$ ではない。$x=1$ を代入すれば決着がつく。もとの式は $12-176+480=316$ を与えるのに対し、$4(1-6)(3-20)=4(-5)(-17)=340$ となり、等しくない。

5. 5

   解の公式で厳密な解を求める。 $3x^2-44x+120=0$ を解くと

   $x=\frac{44\pm\sqrt{496}}{6}=\frac{44\pm4\sqrt{31}}{6}=\frac{22\pm2\sqrt{31}}{3}$

   となる。ここで $\sqrt{496}=\sqrt{16\cdot31}=4\sqrt{31}$ である。数値では、$\sqrt{31}=5.567764$ として

   $x_1=\frac{22+11.13553}{3}=11.04518,\qquad x_2=\frac{22-11.13553}{3}=3.62149$

6. 6

   完全な因数分解を述べて検算する。 実数の範囲では

   $12x^2-176x+480=12\left(x-\frac{22+2\sqrt{31}}{3}\right)\left(x-\frac{22-2\sqrt{31}}{3}\right)$

   であり、整数の範囲では $4\left(3x^2-44x+120\right)$ が限界である。どちらの解でも、もとの式の値はゼロとの差が $10^{-9}$ 以内 ✓、最大公約数をくくり出す段階も $40$ 個の整数値で確認済み ✓。