不等式 4x² − 4x + 1 < 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   やみくもに因数分解する前に完全平方を探す。 両端の項は平方で $4x^2=(2x)^2$、$1=1^2$ であり、中央の項は $-2\cdot(2x)\cdot 1 = -4x$ である。これはまさに $a^2-2ab+b^2$ の形なので $4x^2-4x+1=(2x-1)^2.$

2. 2

   念のため判別式を確かめる。 $\Delta = (-4)^2-4(4)(1) = 16-16 = 0$ である。判別式が 0 とは重解をもつということで、これはこの二次式が唯一の解 $x=\tfrac12$ をもつ完全平方であることの言い換えにほかならない。

3. 3

   平方の符号の性質を使う。 任意の実数 $x$ に対して $(2x-1)^2 \ge 0$ である。実数の平方は 0 にはなれても、真に負になることは決してないので、$(2x-1)^2 < 0$ という要求は決して満たされない。

4. 4

   解集合が空であると結論する。 $4x^2-4x+1<0 \iff (2x-1)^2<0 \iff \varnothing.$ 幾何的には、放物線は下に凸で $x=\tfrac12$ において $x$ 軸に接するだけで、その下に潜ることが一度もない。

5. 5

   等号の有無で答えがどう変わるかを並べておく。 $(2x-1)^2 \le 0$ の解は $x=\tfrac12$ ただ 1 つ、$(2x-1)^2 > 0$ の解は $x=\tfrac12$ を除いたすべて、$(2x-1)^2 \ge 0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。空集合になるのは等号を含まない $<$ のときだけである。