不等式 4x² − 4x + 1 ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に判別式を調べる。 $a=4$、$b=-4$、$c=1$ とすると

   $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$

   判別式が 0 であることは重解をもつこと、つまり放物線が軸を横切らず 1 点で接することを意味する。この事実ひとつで答えが決まる。

2. 2

   完全平方であることを見抜く。 両端の項が $(2x)^2$ と $1^2$ であり、中央の項は $-2\cdot(2x)\cdot1=-4x$ ✓ になっている。よって

   $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

   となり、不等式は $(2x-1)^2\le0$ に変わる。

3. 3

   平方の基本性質を使う。 任意の実数 $x$ に対して

   $(2x-1)^2\ge0$

   が成り立つ。これと要求されている $(2x-1)^2\le0$ を合わせると、両者が一致するしかない。

   $(2x-1)^2=0$

4. 4

   出てきた方程式を解く。

   $2x-1=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac12$

   つまり解集合は区間ではなく 1 点 $\left\{\tfrac12\right\}$ である。ほとんどの二次不等式は区間か 2 つの区間の和集合になるので、この形は覚えておく価値がある。

5. 5

   等号なしの不等式ならどうなるかと比べる。 もし問題が $4x^2-4x+1<0$ だったなら、平方が真に負になることはないので答えは空集合である。また $4x^2-4x+1\ge0$ ならすべての実数が答えになる。同じ三項式から、3 つの形はまったく異なる答えを出す。

6. 6

   検算する。 $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$ を $60$ 個の厳密な有理数で確かめると恒等式が成り立つ ✓。$[-3,3]$ 上の $6001$ 個の有理点を走査すると、不等式を満たす値は $x=\tfrac12$ だけである ✓。