不等式 2x² − 3x − 2 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   不等式がすでに標準形になっていることを確かめる。 左辺にすべてが集まり右辺は $0$ なので、そのまま因数分解に進んでよい。最高次の係数は $2$ であり、因数分解はモニックではないから、分割の際にそのぶんを考えに入れる必要がある。

2. 2

   最高次の係数が 1 でない二次式を因数分解する。 積が $ac = 2\cdot(-2) = -4$、和が $b=-3$ になる整数を探すと $-4$ と $1$ である。中央の項を分けると $2x^2-4x+x-2 = 2x(x-2)+1(x-2)$ となり、したがって $2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2).$ 展開して戻すと $2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2$ となり、確かに合っている。

3. 3

   臨界点を求める。 各因数を 0 とおくと、$2x+1=0$ から $x=-\tfrac12$、$x-2=0$ から $x=2$ が出る。式が符号を変えうるのはこの 2 点だけである。

4. 4

   各区間で符号を調べる。 この 2 点が数直線を $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,2\right)$、$(2,\infty)$ に分ける。$x=-1$ では $(2(-1)+1)((-1)-2) = (-1)(-3) = 3>0$。$x=0$ では $(1)(-2) = -2<0$。$x=3$ では $(7)(1) = 7>0$。並び $+,-,+$ は下に凸の放物線が必ずたどる形そのものである。

5. 5

   積が正になる区間を残す。 不等号は等号を含まないので解そのものは除かれる。$x<-\tfrac12 \quad \text{または} \quad x>2, \qquad \text{すなわち } \left(-\infty,-\tfrac12\right)\cup(2,\infty).$

6. 6

   近道を覚えておく。 $a>0$ で相異なる 2 実解 $r_1<r_2$ をもつとき、$ax^2+bx+c>0$ の解はつねに解の外側、$<0$ の解はつねに間である。上の符号表はそれを確かめたにすぎない。