2(x − 1.6)² + (x − 1.5)² = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   左辺のどの項も非負であることに注目する。 実数 $x$ に対して $(x-1.6)^2 \ge 0$ かつ $(x-1.5)^2 \ge 0$ であり、前者に正の定数 $2$ を掛けてもそれは保たれる。したがって左辺は非負な 2 つの量の和である。

2. 2

   非負の和が零になる条件を使う。 非負の数の和が $0$ に等しくなるのは、どの項も $0$ のときだけである。ここではそれが $2(x-1.6)^2 = 0 \quad\text{かつ}\quad (x-1.5)^2 = 0,$ を強いる。すなわち $x = 1.6$ かつ $x = 1.5$ が同時に成り立たねばならない。

3. 3

   矛盾を見つける。 1 つの数が $1.6$ でも $1.5$ でもあることはできないので、両方の条件を満たす実数 $x$ は存在しない。したがってこの方程式には実数解がない。

4. 4

   展開して代数的に確認する。 $2(x-1.6)^2 = 2x^2-6.4x+5.12$、$(x-1.5)^2 = x^2-3x+2.25$ なので、方程式は $3x^2-9.4x+7.37 = 0.$ になる。

5. 5

   展開した形の判別式を調べる。 $\Delta = (-9.4)^2-4(3)(7.37) = 88.36-88.44 = -0.08 < 0$ であり、実数解がないことが独立に裏づけられる。差はごくわずかであり、まさにそれゆえ、ここでは小数の計算より前の手順の構造的な議論のほうが安全である。

6. 6

   実際の意味を読み取る。 これは最小二乗あてはめの残差である。$3x^2-9.4x+7.37$ の最小値は $x = \tfrac{9.4}{6} \approx 1.5667$ でとられ、その値は $\tfrac{0.08}{12} \approx 0.00667 > 0$ である。$1.6$ と $1.5$ のあいだの最良の折衷は $x \approx 1.5667$ だが、和が実際に零に達することはない。