4x²y + 12xy + 9y を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず共通因数をつねに探す。 どの項もちょうど 1 個の $y$ を含み（係数 $4,12,9$ には $1$ より大きい共通因数がない）、最大公約数は $y$ である：

   $4x^2y+12xy+9y=y\left(4x^2+12x+9\right)$

   この一手を飛ばして 2 変数の三項式をそのまま因数分解しようとすると、問題が実際よりずっと難しく見えてしまう。

2. 2

   括弧が完全平方式かどうかを調べる。 三項式 $A^2+2AB+B^2$ では、両端の項が平方であり、中央の項がそれらの平方根の積の 2 倍でなければならない。ここでは $4x^2=(2x)^2$、$9=3^2$ なので、中央を確かめる：

   $2\cdot(2x)\cdot3=12x\ \checkmark$

   ぴったり合っている。

3. 3

   平方の形に書く。

   $4x^2+12x+9=(2x+3)^2$

   どちらの符号も正なので、括弧の中は差ではなく和になる。（独立に確かめると、判別式は $144-4(4)(9)=144-144=0$ であり、これは重解であることの証拠である。）

4. 4

   共通因数と組み合わせる。

   $4x^2y+12xy+9y=y(2x+3)^2$

5. 5

   この形から何が分かるかを読み取る。 $(2x+3)^2\ge0$ がつねに成り立つので、式の符号は $y$ の符号と同じであり、値がゼロになるのはちょうど $y=0$ または $x=-\tfrac32$ のときである。$x=-\tfrac32$ が重解であることは、（$y>0$ を固定したときの）放物線がそこで軸を横切らずに接することを意味する。

6. 6

   数値で検算する。 $[-5,5]$ からとった $50$ 組のランダムな $(x,y)$ で、もとの式と $y(2x+3)^2$ を比べると、どの点でも計算機の精度の範囲で一致する ✓。$x=1,y=2$ で確かめると $8+24+18=50$、$2(5)^2=50$ ✓。