不等式 3x² − 2x − 1 ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最高次の係数が 1 ではないので、たすきがけ（AC 法）を使う。 $a\cdot c=3\times(-1)=-3$ を作り、その積をもち和が $b=-2$ になる 2 数を探す。それは $-3$ と $+1$ である。

   $(-3)(1)=-3\ \checkmark,\qquad -3+1=-2\ \checkmark$

2. 2

   中央の項を分けて組にする。

   $3x^2-3x+x-1\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad 3x(x-1)+1(x-1)\ge0$

   どちらの組にも $(x-1)$ が残るので、くくり出せる。

   $(3x+1)(x-1)\ge0$

3. 3

   臨界点を求める。

   $3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13,\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   これで数直線が $\left(-\infty,-\tfrac13\right)$、$\left(-\tfrac13,1\right)$、$(1,\infty)$ に分かれる。

4. 4

   符号の並びを決める。 最高次の係数 $3$ は正なので放物線は下に凸であり、解の外側で 0 以上、間で負になる。試験点でも確かめられる。$x=-1$ では $3+2-1=4>0$、$x=0$ では $-1<0$、$x=2$ では $12-4-1=7>0$ である。

5. 5

   端点を含める。 不等号は等号つきなので、式がちょうど $0$ になる解も解集合に属する。

   $x\le-\frac13\qquad\text{または}\qquad x\ge1$

   区間で書けば $\left(-\infty,-\tfrac13\right]\cup[1,\infty)$ である。

6. 6

   検算する。 因数分解は $-30$ から $29$ までのすべての整数でもとの式と一致する ✓。さらに $[-10,10]$ 上の $6001$ 個の厳密な有理点で符号を主張した解集合と比べると、すべての点で一致する ✓。