x/(x + 100) − (x + 25)/(x + 125) = 0.1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域を押さえ、$0.1$ を分数に書き直す。 分母は $x=-100$ と $x=-125$ で 0 になるので、この 2 値は初めから除外される。また $0.1=\dfrac{1}{10}$ と書いておけば、方程式全体を厳密な数のまま扱える。

2. 2

   左辺を共通分母 $(x+100)(x+125)$ でまとめる。

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}$

   2 つの積を展開すると

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500$

3. 3

   分子が定数につぶれるのを見る。 二次の項も一次の項も完全に打ち消し合う。

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500$

   したがって方程式は単に

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}$

   である。ここがこの問題の構造上の核心である。左辺は $(x+100)(x+125)>0$ である場所ではつねに負なので、正の $\tfrac{1}{10}$ に等しくなる望みがあるのは区間 $-125<x<-100$ だけである。

4. 4

   たすきに掛けて展開する。

   $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$

   $\Longrightarrow\ x^{2}+225x+37500=0$

5. 5

   判別式を計算する。 $a=1$、$b=225$、$c=37500$ として

   $b^{2}-4ac=50625-150000=-99375<0$

   判別式が負ということは実数解がないということなので、もとの方程式には実数解が存在しない。（手順 3 と整合している。$-125<x<-100$ 上で積 $(x+100)(x+125)$ の絶対値の最大は、$-25000$ を出すにはあまりにも小さい。）

6. 6

   必要なら複素数解も答える。 $99375=625\cdot 159$ なので $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$ であり

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}=-112.5\pm 157.619i$

   である。どちらの値をもとの式に代入し直しても、計算機の精度で $0.1$ が再現される。