(3x² + 4)² + (3x² − 4)² − 2(3x² + 4)(3x² − 4) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   展開したくなるのをこらえて、まず形を見る。 まともに書き下せば 4 次式の展開が 3 つ、しかも整理の手間が大きい。しかしこの 3 つの部品は、繰り返し現れる 2 つのかたまりについてちょうど $a^2$、$b^2$、$-2ab$ になっており、これは次の公式の目印である：

   $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$

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   かたまりを置き換える。

   $a=3x^2+4,\qquad b=3x^2-4$

   とおくと、この式は文字どおり $a^2+b^2-2ab$ なので、$(a-b)^2$ に等しい。それぞれの括弧を 1 つのものとして扱うことが、手間をすべて省く一手である。

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   $a-b$ を計算し、マイナス符号の配り方に注意する。

   $a-b=(3x^2+4)-(3x^2-4)=3x^2+4-3x^2+4=8$

   $3x^2$ の項は打ち消し合い、2 つの定数は $-(-4)=+4$ なので足し合わされる。ここで $8$ ではなく $0$ としてしまうのが定番の符号ミスである。

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   差を 2 乗する。

   $(a-b)^2=8^2=64$

   よって式全体は定数 $64$ に潰れる。どんな実数 $x$ に対しても同じ値をとり、答えには $x$ が残らない。

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   $x$ の値を 2 つ選んで確かめる。 $x=0$ では $16+16-2(4)(-4)=16+16+32=64$。✓ $x=1$ では $49+1-2(7)(-1)=49+1+14=64$。✓ 異なる 2 つの入力が同じ出力を与えることは、この式が本当に定数であることの強い裏づけになる。