乗法公式を使って 4(x + 3)(x − 3) を展開せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   掛け算に入る前に共役な組を見抜く。 2 つのかっこは定数の符号だけが違う：$(x+3)$ と $(x-3)$。これは

   $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

   の印である。総当たりで展開するよりこちらが速い。交差項の $+3x$ と $-3x$ が必ず打ち消し合うと保証されており、追いかけるものが何も残らないからである。

2. 2

   $a=x$、$b=3$ として公式を使う。

   $(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9$

   定数は $3$ ではなく $3^2=9$ である。公式は $b$ を 2 乗する。

3. 3

   先頭の係数 4 はいったん外に出したままにする。 4 はもともと公式の一部ではないので、結果に掛かるだけである：

   $4(x+3)(x-3)=4(x^2-9)$

   この半分だけ因数分解された形 $4(x^2-9)$ は構造が見えるので、教科書がこの形を求めることも多い。

4. 4

   4 を分配して展開を終える。

   $4(x^2-9)=4x^2-36$

   両方の項に掛かる——$4x^2-9$ と書いてしまうのが典型的な取りこぼしである。

5. 5

   都合のよい値で確かめる。 $x=5$ のとき、もとの式は $4\cdot 8\cdot 2=64$ であり、一方 $4(25)-36=100-36=64$ である。一致するので $4(x+3)(x-3)=4(x^2-9)=4x^2-36$ となる。右から左へ読めば、$4x^2-36$ が $4(x+3)(x-3)$ と因数分解できることも述べている。