3x − 2y = 20 のとき、D = 9x² − 12xy + 4y² の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの平方の項の平方根をとる。 $A^2 - 2AB + B^2$ の形にあてはめるには、まず $A$ と $B$ が要る。

   $A^2 = 9x^2 \Rightarrow A = 3x, \qquad B^2 = 4y^2 \Rightarrow B = 2y$

   先頭の係数 $9$ と $4$ 自体が平方数であることが、この公式が使える合図である。

2. 2

   決めつける前に真ん中の項を確かめる。 この形では真ん中の項がちょうど $2AB$ でなければならない。

   $2AB = 2(3x)(2y) = 12xy$

   式の $-12xy$ と一致し、マイナスの符号は $(A + B)^2$ ではなく $(A - B)^2$ のほうを選ばせる。もし真ん中の係数が $12$ 以外だったなら、この式はそもそも完全平方ではない。

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   1 つの平方として書き直す。

   $D = 9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2$

4. 4

   与えられた関係式を代入する。 $3x - 2y = 20$ なので

   $D = 20^2 = 400$

   ここでもかっこの中がまるごと置き換わる。$x$ と $y$ を別々に決めるだけの情報はないが、必要でもない。

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   3x − 2y = 20 を満たす具体的な 2 組で確かめる。 $y = 2$、$x = 8$ とすると $9(64) - 12(16) + 4(4) = 576 - 192 + 16 = 400 \ \checkmark$。$y = -1$、$x = 6$ とすると $324 + 72 + 4 = 400 \ \checkmark$。どの組を使っても値が変わらないのは、予想どおりである。