x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴ を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   係数の並びを読む。 係数を順に並べると

   $1,\;2,\;3,\;2,\;1$

   となって回文であり、しかもこの式は $4$ 次の同次式である——どの項も次数の合計が $4$ である。次数 $4$ の同次な回文式は、次数 $2$ の同次式の 2 乗である可能性が高い。

2. 2

   一般の 3 項式の 2 乗を置く。 $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2$ を試し、$a=x^2$、$b=kxy$、$c=y^2$ として $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ で展開する：

   $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2=x^4+2kx^3y+\left(k^2+2\right)x^2y^2+2kxy^3+y^4$

3. 3

   係数を比較する。 目標の式と比べると：

   $2k=2\;\Longrightarrow\;k=1,\qquad k^2+2=1+2=3\;\checkmark$

   2 つの条件が同じ $k$ で同時に満たされることこそが、この因数分解が存在する理由である。もし $x^2y^2$ の係数が $3$ 以外だったら、どんな $k$ をとっても両立しない。

4. 4

   因数分解を書き下す。

   $x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4=\left(x^2+xy+y^2\right)^2$

5. 5

   数値で確認し、既約性も見ておく。 $x=2$、$y=1$ のとき、もとの式は $16+16+12+4+1=49$、そして $\left(4+2+1\right)^2=7^2=49\;\checkmark$。内側の因数 $x^2+xy+y^2$ は実数の範囲ではこれ以上分解できない——$x$ の 2 次式と見ると判別式が $y^2-4y^2=-3y^2<0$ だからである——ので、これが完全な因数分解である。