f(x) = a(x − 5)³ + b(x − 5) + 7 とする。1 ≤ f(x) ≤ 13 の解が k − 9 ≤ x ≤ 3k + 7 であるとき、k を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   関数を奇関数の芯まで削る。 $t=x-5$、$g(t)=at^3+bt$ と置く。すると

   $f(x)=g(x-5)+7$

   であり、$g(-t)=-at^3-bt=-g(t)$ なので $g$ は奇関数である。3 乗と 1 次だけからなる式はつねにこうなる。偶数乗がないので、対称性を崩すものが何もない。

2. 2

   奇関数性を $f$ の点対称性に翻訳する。 任意の $t$ について、

   $f(5+t)+f(5-t)=\left[g(t)+7\right]+\left[g(-t)+7\right]=g(t)-g(t)+14=14$

   となるので、$f$ のグラフは点 $(5,7)$ について対称である。$x=5$ から右へ $t$ だけ離れたところで起きることが、左へ $t$ だけ離れたところに上下反転して映る。

3. 3

   境界の値も 7 について対称であることに注目する。 条件は

   $1\le f(x)\le 13\iff |f(x)-7|\le 6$

   である。$1=7-6$、$13=7+6$ だからである。中心の値について対称な条件を、中心の点について対称な関数に課すのだから、解集合は $x=5$ について対称でなければならない。

4. 4

   与えられた区間の中心が 5 になることを課す。 $\left[k-9,\;3k+7\right]$ の中点は

   $\frac{(k-9)+(3k+7)}{2}=\frac{4k-2}{2}=2k-1$

   である。これを $5$ と等しいと置くと：

   $2k-1=5\;\Longrightarrow\;k=3$

5. 5

   $k=3$ が本当に区間を与えるか確かめる。 $k=3$ のとき端点は $k-9=-6$ と $3k+7=16$ なので、解集合は $[-6,16]$ という空でない正しい区間になり、その中点は $\tfrac{-6+16}{2}=5\;\checkmark$ で対称の中心と一致する。半分の幅 $11$ は $f(16)=13$ を通じて $a$ と $b$ に制約を与えるが、$k$ 自体は対称性だけで決まる。