積 (x² + y²)(2x² + 4y² + 6z²) を、横書きの計算で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分配の段取りを立てる。 2 項と 3 項の積なので単項式は 6 個出る。文字が 3 種類あるときの「同類項」はもはや「$x$ の次数が同じ」という意味ではなく、文字の並びが同じという意味になる。たとえば $x^2y^2$ は別の $x^2y^2$ としかまとまらない。

2. 2

   $x^2$ を分配する。 $x^2\cdot 2x^2=2x^4$、$x^2\cdot 4y^2=4x^2y^2$、$x^2\cdot 6z^2=6x^2z^2$。

3. 3

   $y^2$ を分配する。 $y^2\cdot 2x^2=2x^2y^2$、$y^2\cdot 4y^2=4y^4$、$y^2\cdot 6z^2=6y^2z^2$。

4. 4

   6 つの単項式を文字の並びごとに仕分ける。 $x^4$：1 項で $2x^4$。$x^2y^2$：2 項で $4x^2y^2$ と $2x^2y^2$。$x^2z^2$：1 項。$y^4$：1 項。$y^2z^2$：1 項。

5. 5

   唯一そろった組をまとめる。 $4x^2y^2+2x^2y^2=6x^2y^2$ なので、積は $2x^4+6x^2y^2+6x^2z^2+4y^4+6y^2z^2$ である。

6. 6

   数値で確認する。 $x=2,y=1,z=3$ のとき：因子は $4+1=5$ と $8+4+54=66$ で積は $330$。展開式は $32+24+216+4+54=330$ を与える。$x=1,y=2,z=0$ のとき：$(1+4)(2+16)=90$、展開式は $2+24+0+64+0=90$。