積 (5x² − 3x)(2x² + 6x − 9) を、横書きの計算で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分配の形に整える。 2 項式と 3 項式の積からは $2\times 3=6$ 個の部分積が出る。前の因子の各項を順にとり、後ろの因子の 3 項すべてに掛ける。符号は項に付いたまま運ぶ。

2. 2

   第 1 項 $5x^2$ を分配する。 $5x^2\cdot 2x^2=10x^4$、$5x^2\cdot 6x=30x^3$、$5x^2\cdot(-9)=-45x^2$。$x^a\cdot x^b=x^{a+b}$ なので指数は足し算になる。

3. 3

   第 2 項 $-3x$ を分配する。 $-3x\cdot 2x^2=-6x^3$、$-3x\cdot 6x=-18x^2$、$-3x\cdot(-9)=+27x$。最後の符号が反転するのは、負と負の積が正になるからである。

4. 4

   6 個の部分積を 1 行に並べる。 $10x^4+30x^3-45x^2-6x^3-18x^2+27x$。

5. 5

   次数ごとに同類項をまとめる。 4 次：$10x^4$ は単独で立つ。3 次：$30x^3-6x^3=24x^3$。2 次：$-45x^2-18x^2=-63x^2$。1 次：$27x$。前の因子のどの項にも $x$ が付いているので、定数項は現れない。

6. 6

   代入して検算する。 $x=1$ のとき因子は $5-3=2$ と $2+6-9=-1$ なので積は $-2$ になるはずで、展開式からは $10+24-63+27=-2$ が得られる。$x=2$ のとき：$(20-6)(8+12-9)=14\cdot 11=154$、展開式は $160+192-252+54=154$。