積 (3x² + 4xy + 5y²)(7x² + 9y²) を、横書きの計算で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   構造に気づく。 どちらの因子も同次である——前者の各項は総次数 $2$、後者の各項も総次数 $2$ ——ので、どの部分積も総次数 $4$ になる。したがって現れうる枠は $x^4,\ x^3y,\ x^2y^2,\ xy^3,\ y^4$ だけであり、これは有用な自己検査になる。

2. 2

   3 項式の各項を $7x^2$ に分配する。 $3x^2\cdot 7x^2=21x^4$、$4xy\cdot 7x^2=28x^3y$、$5y^2\cdot 7x^2=35x^2y^2$。

3. 3

   $9y^2$ に分配する。 $3x^2\cdot 9y^2=27x^2y^2$、$4xy\cdot 9y^2=36xy^3$、$5y^2\cdot 9y^2=45y^4$。

4. 4

   6 個の単項式を形ごとにまとめる。 $21x^4$、$28x^3y$、$36xy^3$、$45y^4$ はそれぞれ単独で立つ。$x^2y^2$ の項は $35x^2y^2$ と $27x^2y^2$ の 2 つである。

5. 5

   まとめて $x$ の降べきの順で答えを書く。 $35x^2y^2+27x^2y^2=62x^2y^2$ なので、$21x^4+28x^3y+62x^2y^2+36xy^3+45y^4$ となる。

6. 6

   2 点で検算する。 $x=y=1$ のとき：$(3+4+5)(7+9)=12\cdot 16=192$、展開式は $21+28+62+36+45=192$。$x=2,y=-1$ のとき：$(12-8+5)(28+9)=9\cdot 37=333$、展開式は $336-224+248-72+45=333$。