(8y⁴ − 3y² + 3y³ − 8x²y − 5y + 3 − 8x) × 7y² を展開せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分配の形に整え、項数を数える。 分配法則により、かっこの中の 7 つの項はすべて $7y^2$ を掛けられるので、答えも 7 項になる。先に数えておくのは、これだけ長いかっこにありがちな「項の落とし忘れ」に対する安上がりな備えである。

2. 2

   各積についての 2 つの規則を思い出す。 数の係数どうしを掛け、共通する文字の指数は足す：$y^m\cdot y^2=y^{m+2}$。$3$ や $-8x$ のように $y$ をまったく含まない項は、単に $y^2$ という因子を得るだけである。符号は項に付いたまま運ばれる。

3. 3

   $y$ だけのべきの項を掛ける。

   $8y^4\cdot 7y^2=56y^{6},\qquad 3y^3\cdot 7y^2=21y^{5},\qquad -3y^2\cdot 7y^2=-21y^{4},\qquad -5y\cdot 7y^2=-35y^{3}$

4. 4

   $x$ を含む項と定数項を掛ける。 $7y^2$ には $x$ が入っていないので、$x$ の因子はそのまま残る：

   $-8x^2y\cdot 7y^2=-56x^2y^{3},\qquad -8x\cdot 7y^2=-56xy^{2},\qquad 3\cdot 7y^2=21y^{2}$

5. 5

   7 つの積を $y$ の降べきの順に並べる。

   $56y^6+21y^5-21y^4-56x^2y^3-35y^3+21y^2-56xy^2$

   $-56x^2y^3$ と $-35y^3$ は同類項ではない（片方は $x^2$ を持つ）し、$21y^2$ と $-56xy^2$ も同様なので、まとまる項はない。

6. 6

   数値を代入して確認する。 $x=1,y=1$ のときかっこの中は $8-3+3-8-5+3-8=-10$ なので、積は $-10\cdot 7=-70$ になるはずである。答えの各項を足すと $56+21-21-56-35+21-56=-70$。✓