(1/2)x⁴y² + (1/3)x³y³ + (1/4)x²y⁴ を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   文字と係数を 2 つの別々の作業として扱う。 最大公約数では、すべての項に現れる各文字の最も低い次数をとり、それとは別に、すべての係数を割り切る最大の数をとる。この 2 つを一緒にやろうとすることが、分数の係数を分かりにくくしている。

2. 2

   各文字の最も低い次数をとる。 $x$ の指数は $4,3,2$ なので最小は $x^2$、$y$ の指数は $2,3,4$ なので最小は $y^2$ である。最大公約数の文字部分は

   $x^2y^2$

   である。

3. 3

   分母の最小公倍数を使って分数の係数を決める。 係数は $\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14$ である。$\operatorname{lcm}(2,3,4)=12$ なので、役に立つ共通因数は $\tfrac{1}{12}$ である。各係数を $\tfrac{1}{12}$ で割ることは $12$ を掛けることであり、$\tfrac{12}{2}=6$、$\tfrac{12}{3}=4$、$\tfrac{12}{4}=3$ はすべて整数になる。これより大きい分数では 3 つの分母をすべて払えないので、最大公約数は

   $\frac{1}{12}x^2y^2$

   である。

4. 4

   各項を最大公約数で割る。 $\tfrac{1}{12}$ で割ることは $12$ を掛けることであり、文字の指数は引き算になる：

   $\frac{\tfrac12 x^4y^2}{\tfrac1{12}x^2y^2}=6x^2,\qquad \frac{\tfrac13 x^3y^3}{\tfrac1{12}x^2y^2}=4xy,\qquad \frac{\tfrac14 x^2y^4}{\tfrac1{12}x^2y^2}=3y^2$

5. 5

   因数分解した形を書き、括弧がさらに分解できるかを調べる。

   $\frac{1}{12}x^2y^2\left(6x^2+4xy+3y^2\right)$

   括弧を $x$ の 2 次式と見ると、判別式は $y\neq 0$ のとき $(4y)^2-4(6)(3y^2)=16y^2-72y^2=-56y^2<0$ なので、実数の範囲では既約であり、因数分解は完全である。

6. 6

   展開して戻して確かめる。 $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 6x^2=\tfrac12x^4y^2$、$\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 4xy=\tfrac13x^3y^3$、$\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 3y^2=\tfrac14x^2y^4$。もとの 3 項がすべてそのまま再現される。