−x⁵ − 15x⁴ − 10x³ + 10x³ − 6x + 1 を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何をもって「同類」とするのかを定める。 2 つの項がまとめられるのは、文字の部分が同一のとき、つまり同じ文字が同じ指数で現れているときだけである。$x^5$、$x^4$、$x^3$、$x$ と定数は 5 つの異なる文字の部分なので、指数ごとに見ていけば、まとめられる組み合わせはすべて見つかる。

2. 2

   指数ごとに分ける。 各次数に係数を並べると：

   $x^5:\ -1\qquad x^4:\ -15\qquad x^3:\ -10\ \text{と}\ +10\qquad x^1:\ -6\qquad x^0:\ +1$

   項目が 2 つあるのは $x^3$ の行だけなので、手を動かす必要があるのもそこだけである。

3. 3

   同類の組をまとめる。

   $-10x^3+10x^3=(-10+10)x^3=0\cdot x^3=0$

   係数が 0 になるので、3 次の項は式から丸ごと消える。$x^3$ になるのでも $20x^3$ になるのでもない。符号を無視して大きさだけ足してしまうのが、よくある取り違えである。

4. 4

   残った項を降べきの順で書く。 次数の高い順に、係数はそのままで：

   $-x^5-15x^4-6x+1$

   この多項式の次数は $5$ のままだが（最高次の項には一度も触れていない）、項の数は 6 個から 4 個に減り、$x^3$ の項も $x^2$ の項もまったくない。

5. 5

   $x=1$ と $x=2$ で検算する。 もとの式に $x=1$：$-1-15-10+10-6+1=-21$、簡単にした式：$-1-15-6+1=-21$。✓ $x=2$ では $-32-240-80+80-12+1=-283$ と $-32-240-12+1=-283$。✓