(x³ + 7x² + 7x − 15) ÷ (x + 3) の商を求めよ。

Step-by-step solution

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   割る前に余りを予測する。 剰余の定理より、余りは被除数を $x=-3$ で評価した値に等しい：$(-27)+7(9)+7(-3)-15=-27+63-21-15=0$。値が零ということは $x+3$ が因数であり、割り算はきっちり割り切れるということである。

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   第 1 段。 $\dfrac{x^3}{x}=x^2$。掛け戻すと $x^2(x+3)=x^3+3x^2$。引くと $7x^2-3x^2=4x^2$ となり、$7x$ を下ろして $4x^2+7x$ を得る。

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   第 2 段。 $\dfrac{4x^2}{x}=4x$。掛け戻すと $4x(x+3)=4x^2+12x$。引くと $7x-12x=-5x$ となり、$-15$ を下ろして $-5x-15$ を得る。

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   第 3 段。 $\dfrac{-5x}{x}=-5$。掛け戻すと $-5(x+3)=-5x-15$。引くと $0$ となり、まさに第 1 段で予測したとおりである。

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   商を読み取り、さらに因数分解する。 商は $x^2+4x-5$ で、これは $(x+5)(x-1)$ と因数分解できる。したがって 3 次式の完全な因数分解は $(x+3)(x+5)(x-1)$ であり、その解は $-3$、$-5$、$1$ である。

6. 6

   展開して検証する。 $(x+3)(x^2+4x-5)=x^3+4x^2-5x+3x^2+12x-15=x^3+7x^2+7x-15$ となり、被除数がそのまま再現される。