(8x³ − 6x² − 5x + 3) ÷ (2x − 5) の商を求めよ。

Step-by-step solution

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   最高次の係数が 1 でない除数で式を整える。 $2x-5$ の先頭が $2x$ なので、商の各項はその時点の最高次の項を $2x$ で割って得られる。被除数には 4 つのべきがすべて揃っているので、穴埋めの項は要らない。

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   第 1 段。 $\dfrac{8x^3}{2x}=4x^2$。掛け戻すと $4x^2(2x-5)=8x^3-20x^2$。引くと $-6x^2-(-20x^2)=14x^2$ となり、$-5x$ を下ろして $14x^2-5x$ を得る。

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   第 2 段。 $\dfrac{14x^2}{2x}=7x$。掛け戻すと $7x(2x-5)=14x^2-35x$。引くと $-5x-(-35x)=30x$ となり、$+3$ を下ろして $30x+3$ を得る。

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   第 3 段。 $\dfrac{30x}{2x}=15$。掛け戻すと $15(2x-5)=30x-75$。引くと $3-(-75)=78$ で定数になるので、割り算はここで止まる。

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   結果を述べる。 $\dfrac{8x^3-6x^2-5x+3}{2x-5}=4x^2+7x+15+\dfrac{78}{2x-5}$ である。余りが $78\neq 0$ なので、$2x-5$ は因数ではない。

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   両方向から検算する。 掛け戻すと $(2x-5)(4x^2+7x+15)+78=8x^3+14x^2+30x-20x^2-35x-75+78=8x^3-6x^2-5x+3$。除数の零点 $x=\tfrac52$ で被除数を評価すると $8\cdot\tfrac{125}{8}-6\cdot\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{2}+3=125-37.5-12.5+3=78$ となり、余りと一致する。