(6x² − 8x − 6) ÷ (3x + 2) の商を求めよ。

Step-by-step solution

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   除数の最高次の係数が 1 でないことを認識する。 除数 $3x+2$ の先頭は $x$ ではなく $3x$ なので、組立除法はそのままでは使えず、商の各項は $x$ ではなく $3x$ で割って得られる。筆算なら追加の道具なしでこれを扱える。

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   第 1 段。 $\dfrac{6x^2}{3x}=2x$。掛け戻すと $2x(3x+2)=6x^2+4x$。引くと $(6x^2-8x)-(6x^2+4x)=-12x$ となり、$-6$ を下ろして $-12x-6$ を得る。

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   第 2 段。 $\dfrac{-12x}{3x}=-4$。掛け戻すと $-4(3x+2)=-12x-8$。引くと $(-12x-6)-(-12x-8)=2$ となる。

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   次数が下がったら打ち切る。 残った $2$ は定数で、1 次の除数より次数が低いので、ここで手続きは終わり、商 $2x-4$、余り $2$ となる。

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   答えを書き表す。 $\dfrac{6x^2-8x-6}{3x+2}=2x-4+\dfrac{2}{3x+2}$。

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   掛け戻しと代入の 2 通りで検算する。 $(3x+2)(2x-4)+2=6x^2-12x+4x-8+2=6x^2-8x-6$。もう 1 つの検算として、除数は $x=-\tfrac23$ で零になり、そこでの被除数は $6\cdot\tfrac49+\tfrac{16}{3}-6=\tfrac83+\tfrac{16}{3}-6=8-6=2$ で、これが余りである。