(3x² − 4x − 1) ÷ (x − 2) の商を求めよ。

Step-by-step solution

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   筆算の形に整える。 被除数 $3x^2-4x-1$ を次数の降順に書き（すでにそうなっている）、$x-2$ で割る。各段階では、残っている式の最高次の項だけを見て合わせる。

2. 2

   割り算の第 1 段。 $\dfrac{3x^2}{x}=3x$ なので、商の最初の項は $3x$ である。掛け戻すと $3x(x-2)=3x^2-6x$。引くと $(3x^2-4x)-(3x^2-6x)=2x$ となり、$-1$ を下ろして $2x-1$ を得る。

3. 3

   割り算の第 2 段。 $\dfrac{2x}{x}=2$ なので、商の次の項は $2$ である。掛け戻すと $2(x-2)=2x-4$。引くと $(2x-1)-(2x-4)=3$ となる。

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   打ち切って結果を読み取る。 残った $3$ の次数は $0$ で、除数の次数 $1$ より低いので割り算はここで終わる。商は $3x+2$、余りは $3$ である。

5. 5

   帯分数の形で書く。 $\dfrac{3x^2-4x-1}{x-2}=3x+2+\dfrac{3}{x-2}$ である。余りが零でないので、$x-2$ は被除数の因数ではない。

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   剰余の定理と掛け戻しで確認する。 被除数に $x=2$ を代入すると $3(4)-8-1=3$ となり、余りと一致する。掛け戻すと $(x-2)(3x+2)+3=3x^2+2x-6x-4+3=3x^2-4x-1$ で、もとの被除数に戻る。