不等式 (x − 1)/2 < (7x + 2)/5 を解き、解を区間表示で答えよ。

Step-by-step solution

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   最小公倍数を掛ける。その前にまず符号を確認する。 分母 $2$ と $5$ から最小公倍数は $10$ である。$10>0$ なので、両辺に掛けても不等号の向きは変わらない。向きが反転するのは負の数を掛けたり割ったりしたときだけである：

   $10\cdot\frac{x-1}{2}<10\cdot\frac{7x+2}{5}\;\Longrightarrow\;5(x-1)<2(7x+2).$

2. 2

   両辺の積を展開する。 注意深く分配すると：

   $5(x-1)=5x-5,\qquad 2(7x+2)=14x+4,$

   なので不等式は

   $5x-5<14x+4.$

   となる。最小公倍数を掛ける行を書かずに「たすき掛け」で済ませようとすると、分子と分母の組み合わせを取り違えやすい。10 を掛ける行をはっきり書けばそれを防げる。

3. 3

   係数が大きいほうの側に $x$ の項を寄せる。 両辺から $5x$ を引けば $x$ の係数は正のままである：

   $-5<9x+4.$

   代わりに $14x$ を引くと $-9x-5<4$ となり、$-9$ で割る羽目になって符号の反転を覚えておかねばならない。負の係数を避ける向きを選べば、この種の誤りをまるごと排除できる。

4. 4

   $x$ を孤立させる。 $4$ を引き、正の数 $9$ で割る：

   $-9<9x\;\Longrightarrow\;-1<x,\qquad\text{すなわち}\qquad x>-1.$

   区間表示では解集合は $(-1,\infty)$ である。もとの不等式が狭義なので端点は除かれる。

5. 5

   境界の前後で確かめる。 $x=-0.9$ のとき：左辺 $=\frac{-1.9}{2}=-0.95$、右辺 $=\frac{-4.3}{5}=-0.86$ で、$-0.95<-0.86$ ✓。$x=-1.1$ のとき：左辺 $=-1.05$、右辺 $=\frac{-5.7}{5}=-1.14$ となり不等式は成り立たない ✓。$x=-1$ では両辺とも $-1$ に等しく、境界であることが確かめられる。