不等式 (x + 2)/4 − x/5 > 1 を解き、解を区間表示で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   最小公倍数を見つけて両辺に掛ける。 分母 $4$ と $5$ は互いに素なので、最小公倍数は $20$ である。右辺にぽつんとある $1$ も含め、すべての項に正の数 $20$ を掛けると：

   $20\cdot\frac{x+2}{4}-20\cdot\frac{x}{5}>20\cdot 1\;\Longrightarrow\;5(x+2)-4x>20.$

   右辺に掛け忘れるのが定番の誤りである。それをやると $5(x+2)-4x>1$ となり、答えが $19$ だけずれてしまう。

2. 2

   かっこを展開する。 $5$ を分配すると：

   $5x+10-4x>20.$

   かっこが付いているのは最初の項だけなので分配は 1 回で済むが、$5\times 2$ から出る $+10$ こそが最終的な答えを支配する部分である。

3. 3

   同類項をまとめる。 2 つの $x$ の項はほとんど打ち消し合う：

   $5x-4x=x,\qquad\text{よって}\qquad x+10>20.$

   係数がちょうど $1$ になるのは計算が順調な証拠である。これは $\tfrac14-\tfrac15=\tfrac{1}{20}$ を $20$ 倍したものだからである。

4. 4

   $x$ を孤立させる。 両辺から $10$ を引く（この操作で不等号の向きが変わることは決してない）と：

   $x>10.$

   区間表示では解集合は $(10,\infty)$ であり、不等号が狭義なので $10$ は除く。

5. 5

   境界の前後で検算する。 $x=10.4$ のとき：$\frac{12.4}{4}-\frac{10.4}{5}=3.1-2.08=1.02>1$ ✓。$x=9.6$ のとき：$\frac{11.6}{4}-\frac{9.6}{5}=2.9-1.92=0.98$ となり $>1$ を満たさない ✓。$x=10$ ちょうどでは左辺が $3-2=1$ となり、境界であることが確かめられる。