不等式 (2x − 1)/3 > (3x − 5)/4 を解き、解集合を書け。

Step-by-step solution

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   最小公倍数で分数を払う。 分母は $3$ と $4$ なので、最小公倍数は $12$ である。不等式の両辺に正の数を掛けても不等号の向きは保たれ、$12>0$ なので何も反転しない：

   $12\cdot\frac{2x-1}{3}>12\cdot\frac{3x-5}{4}\;\Longrightarrow\;4(2x-1)>3(3x-5).$

   この一手があるからこそ、分数の不等式は整数の不等式より難しくならない。$x$ の項に手を付ける前に、まず分母を消してしまうことである。

2. 2

   両辺を展開する。 それぞれの積を展開すると：

   $4(2x-1)=8x-4,\qquad 3(3x-5)=9x-15,$

   なので不等式は

   $8x-4>9x-15.$

   となる。$-3\times(-5)=+15$ の符号に注意すること。このマイナスを落とすのがこの手順で最も多い誤りであり、最終的な境界が $11$ から $-19$ に変わってしまう。

3. 3

   係数が正のままになる側に $x$ の項を集める。 両辺から $8x$ を引くと $x$ は右辺に残る：

   $-4>x-15.$

   代わりに $9x$ を引いて $-x-4>-15$ としてもよいが、その場合は $-1$ で割ることになり、不等号を反転させるのを忘れてはならない。係数が小さいほうを動かせば、この落とし穴を完全に避けられる。

4. 4

   $x$ を孤立させて解を読み取る。 両辺に $15$ を加えると：

   $11>x,\qquad\text{すなわち}\qquad x<11.$

   区間表示では解集合は $(-\infty,11)$ である。もとの不等式が狭義なので $11$ そのものは除かれることに注意する。

5. 5

   内側と外側から 1 つずつ値を入れて確かめる。 $x=10.9$ のとき：左辺 $=\frac{20.8}{3}\approx 6.933$、右辺 $=\frac{27.7}{4}=6.925$ で、$6.933>6.925$ ✓。$x=11.1$ のとき：左辺 $\approx 7.067$、右辺 $=7.075$ となり不等式は成り立たない ✓。境界 $x=11$ では両辺とも $7$ となり、ここがちょうど切れ目であることが確かめられる。