不等式 x − 1/3 > x + 4 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   いつも通り変数の項を集める。 両辺とも係数 $1$ の $x$ をちょうど 1 つずつ持つので、両辺から $x$ を引く：

   $x-\frac{1}{3}-x>x+4-x$

2. 2

   変数が完全に消えることに気づく。 $x$ の項は両辺で打ち消し合い、変数を一切含まない命題だけが残る：

   $-\frac{1}{3}>4$

   これは行き止まりではなく、姿を変えた答えである。変数が消えたときは、残った数値の主張が問題全体を一気に決める。

3. 3

   残った命題を判定する。 $-\tfrac13$ は $4$ より大きいか。否である。$-\tfrac13\approx-0.333$ は負であるのに対し $4$ は正なので、この主張は偽である。$x$ に依存しないので、すべての $x$ に対して同時に偽となる。

4. 4

   空集合として結論づける。 どの実数もこの不等式を満たさないので、

   $\text{解集合}=\varnothing$

   $x$ の有理数値 $200$ 個を厳密に検算しても解は出なかった ✓。両辺の差が定数である以上、当然の結果である。

5. 5

   幾何的な理由を見る。 直線 $y=x-\tfrac13$ と $y=x+4$ は同じ傾き $1$ を持つので平行であり、決して交わらない。左の直線は右の直線より常に $4+\tfrac13=\tfrac{13}{3}$ だけ下にあるので、上に来ることはあり得ない。もし不等号が逆で $x-\tfrac13<x+4$ であれば、残る命題 $-\tfrac13<4$ は真となり、解集合は実数全体になっていた。