不等式 −2|3m| + 3 < 51 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   絶対値の項を単独にする。 両辺から $3$ を引く：

   $-2|3m|<48$

2. 2

   $-2$ で割り、不等号を反転する。 負の数で割ると向きが逆になる：

   $|3m|>-24$

3. 3

   分けにいく前に不等式を読む。 いつもの分け方「$A<-b$ または $A>b$」は $b>0$ を前提にしている。ここでは右辺が負なので、その型は当てはまらない。両辺を直接見比べる：

   $|3m|\ge 0>-24$

4. 4

   すべての実数が解であると結論する。 $|3m|$ は少なくとも $0$ であり、$0$ の時点ですでに $-24$ を上回っているので、この不等式はどんな $m$ についても成り立つ：

   $m\in(-\infty,\infty)$

   抜き取り検査：$m=0$ では $-2\cdot 0+3=3<51$ $\checkmark$、$m=1000$ では $-6000+3=-5997<51$ $\checkmark$。

5. 5

   ほとんど同じなのに自明ではない問題と比べる。 右辺を $51$ から $-51$ に変えると $|3m|>27$ となり、その解は $m<-9$ または $m>9$ だけになる。反転のあとに残る数の符号が、「すべての実数」と本物の 2 枝の答えとを分けている。