連結不等式 11 < 60(1 + x)/7 < 12 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何かに手をつける前に構造を読む。 これは3 つの部分からなる不等式で、同じ量 $\frac{60(1+x)}{7}$ が $11$ と $12$ のあいだに閉じ込められている。実際には 2 つの不等式が同時に書かれているので、どの操作も 2 つではなく 3 つの部分すべてに施さなければならない。

2. 2

   3 つの部分すべてに 7 を掛けて分母を払う。 不等式に正の数を掛けても向きは両方とも保たれ、$7>0$ なので何も反転しない：

   $77<60(1+x)<84$

3. 3

   3 つの部分すべてを 60 で割る。 ここでも $60>0$ なので向きは保たれる：

   $\frac{77}{60}<1+x<\frac{84}{60}=\frac{7}{5}$

   ここで $\tfrac{84}{60}$ を $\tfrac{7}{5}$ に約分しておくと、最後の計算がすっきりする。

4. 4

   3 つの部分すべてから 1 を引いて x を取り出す。 足し引きは不等式の向きを決して変えない：

   $\frac{77}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{7}{5}-\frac{5}{5}$

   $\frac{17}{60}<x<\frac{2}{5}$

5. 5

   両端点を代入して確かめる。 $x=\tfrac{17}{60}$ では $1+x=\tfrac{77}{60}$ なので $\frac{60}{7}\cdot\frac{77}{60}=\frac{77}{7}=11$ となり、ちょうど下限である。$x=\tfrac{2}{5}$ では $1+x=\tfrac{7}{5}$ なので $\frac{60}{7}\cdot\frac{7}{5}=12$ となり、ちょうど上限である。どちらも狭義の不等号なので端点そのものは除かれ、開区間 $\left(\tfrac{17}{60},\tfrac{2}{5}\right)$ が得られる。

6. 6

   小数のテスト点で妥当性を確かめる。 $\tfrac{17}{60}\approx0.2833$、$\tfrac{2}{5}=0.4$ である。区間の内側の $x=0.35$ をとると $\frac{60(1.35)}{7}=\frac{81}{7}\approx11.57$ となり、$11$ と $12$ のあいだに余裕をもって収まる ✓。