(x² + y² + z²)² = 8z が与えられている。z を1つの関数 z = f(x, y) として書けるか。またこの曲面を説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すぐ分かる符号の制限に注目する。 左辺は 2 乗なので非負であり、したがって $8z\ge 0$、すなわち $z\ge 0$ である。曲面全体は上半空間にある。

2. 2

   原点で試して決着をつける。 $x=y=0$ とおくと

   $\left(z^{2}\right)^{2}=8z\ \Longrightarrow\ z^{4}-8z=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z=0\ \text{または}\ z=2$

   となる。1 つの入力 $(0,0)$ に対して $z$ の値が2 つ対応するので、1 価の関数 $f$ で曲面全体を表すことはできない——縦線判定を通らないのである。

3. 3

   代わりに原点からの距離について解く。 両辺の非負の平方根をとる（左辺が 2 乗で $z\ge 0$ だから正当である）：

   $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\sqrt{8z}\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}=\sqrt{8z}-z^{2}$

   これで曲面がすっきり書ける。各高さ $z$ において、半径の計算できる円になっているのである。

4. 4

   高さの範囲を求める。 左辺 $x^{2}+y^{2}$ は負になれないので、

   $\sqrt{8z}\ge z^{2}\ \Longrightarrow\ 8z\ge z^{4}\ \Longrightarrow\ z\left(8-z^{3}\right)\ge 0\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 2$

   が必要である。よって曲面は有界で、平面 $z=0$ と $z=2$ の間に収まっている。

5. 5

   形を説明する。 各高さ $z\in[0,2]$ において断面は半径 $\sqrt{\sqrt{8z}-z^{2}}$ の円である。この半径は $z=0$ でも $z=2$ でも $0$ になり、その間では正である（最大になるのは $z=2^{-1/3}\approx 0.7937$ のときで、半径は $\approx 1.3747$ に達する）。したがって曲面は $z$ 軸のまわりの閉じたリンゴ状の回転体で、上下の端は点につぼまっている。

6. 6

   結論を述べる。 1 つの関数 $z=f(x,y)$ は存在しない。この曲面は陰関数のまま与えるか、円板 $x^{2}+y^{2}\le\max\left(\sqrt{8z}-z^{2}\right)$ の上で上側と下側の 2 つの分枝に分けるしかない。ここで閉じた形の $f$ を 1 つだけ書けば、曲面の半分を黙って捨てることになる。