集合の内包的記法で、2 ≤ x ≤ 5, x = 10 を満たす x 全体の集合は、2 から 5 までの区間と 1 点 10 を合わせたものと同じか。

Step-by-step solution

1. 1

   コンマについての約束を述べる。 集合の内包的記法では、縦棒の後ろにあるものはすべて、要素が同時に満たすべき条件の並びである。コンマは「かつ」と読む：

   $\{x \mid P(x),\ Q(x)\} = \{x \mid P(x) \ \text{かつ} \ Q(x)\}$

   これは文体の選択ではなく決まった約束である。開いた第 1 象限を表す $\{(x,y) \mid x > 0,\ y > 0\}$ でのコンマのはたらきと同じである。

2. 2

   約束を与えられた集合に当てはめる。 コンマを「かつ」と読むと、この記述は

   $2 \le x \le 5 \quad \text{かつ} \quad x = 10$

   になる。両方を満たす数はない。$x = 10$ は $x = 10$ を強いるが、$10 > 5$ なので区間の条件が成り立たない。

3. 3

   この集合が空であると結論する。 2 つの条件は矛盾しているので、

   $\{x \mid 2 \le x \le 5,\ x = 10\} = \varnothing$

   である。つまり意図した集合ではない。空集合であり、惜しい間違いどころか、ありうる限り最も外れた答えである。

4. 4

   意図した集合を正しく書く。 和集合には「または」を使わねばならない。これは選言から作られた 1 つの条件である：

   $\{x \mid 2 \le x \le 5 \ \text{または} \ x = 10\}$

   同じことだが、別々に記述した 2 つの集合の和を取ってもよい：

   $\{x \mid 2 \le x \le 5\} \cup \{10\} = [2,5] \cup \{10\}$

5. 5

   テスト値で所属を確かめる。 直した集合では、$x = 3$ は最初の条件を満たすので $3$ は属し、$x = 10$ は 2 つ目を満たすので $10$ は属し、$x = 7$ はどちらも満たさないので $7$ は属さない。これはちょうど $[2,5] \cup \{10\}$ の所属のしかたと一致するので、2 つの記述は同じものを表す。

6. 6

   対応関係を覚えておく。 コンマ（および共通部分 $\cap$）は一組であり、集合を狭める。「または」（および和集合 $\cup$）は一組であり、集合を広げる。記述が別々の断片の並びであるときはいつでも、必要なのは「または」か $\cup$ であって、コンマでは決してない。