区間 (−∞, −10] と [−10, 8) の共通部分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   それぞれの区間を不等式に言い換える。 $(-\infty, -10]$ は $\{x : x \le -10\}$、$[-10, 8)$ は $\{x : -10 \le x < 8\}$ である。かっこの形が効いてくる。角かっこは端点を含み、丸かっこは含まない。

2. 2

   条件どうしの共通部分を取る。 両方の集合に入る数は $x \le -10$ と $x \ge -10$ を同時に満たさねばならず、これから

   $x = -10$

   が確定する。3 つ目の条件 $x < 8$ は、そのとき自動的に成り立つ。

3. 3

   端点が本当に含まれるか確かめる。 $-10$ は、1 つ目の区間には右端が閉じているので属し、2 つ目の区間には左端が閉じているので属する。どちらか一方でも丸かっこであれば、共通部分は代わりに空集合になっていた。

4. 4

   答えを 2 通りの書き方で示す。 集合としては $\{-10\}$、区間としてはつぶれた閉区間

   $[-10,\, -10]$

   である。長さは $0$ だが空集合ではない。取り違えないでおきたい区別である。

5. 5

   和集合と対比する。 同じ 2 つの区間の和集合は $(-\infty, 8)$ である。2 つ合わせれば $8$ より小さいものをすべて覆うからである。共通部分が 1 点につぶれるのは、2 つの区間が重なり合うのではなく端どうしで接しているからにほかならない。