x + y ≤ 6 と x ≥ 2 をともに満たす点の領域を述べ、図示せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの不等式を 1 つの連立として扱う。 ある点が解に属するのは両方を満たすときだけなので、答えは 2 つの半平面の共通部分であって、和集合ではない：

   $\begin{cases}x+y\le 6\\ x\ge 2\end{cases}$

2. 2

   1 つ目の不等式を傾きと切片の形に直す。 両辺から $x$ を引くと：

   $y\le 6-x$

   境界 $y=6-x$ は $(0,6)$ と $(6,0)$ を通る傾き $-1$ の直線で、$\le$ なので実線で描く。その線上および下側をすべて塗る。

3. 3

   2 つ目の不等式を読み取る。 $x\ge 2$ は垂直な境界線 $x=2$ を表し、これも実線で、その線上および右側をすべて塗る。$y$ が現れないので、この制限はどの高さでも同じであることに注意する。

4. 4

   頂点の位置を求める。 2 つの境界が交わるのは $x=2$ かつ $y=6-x$ のとき、すなわち

   $(2,\,4)$

   である。これが領域の唯一の頂点であり、どちらの境界も含まれるので、この点は解に属する。

5. 5

   形が非有界であることを確かめる。 $(2,4)$ から領域は右下の方向へ限りなく開いている。たとえば $(100,-1000)$ は $x\ge 2$ を満たし、$x+y=-900\le 6$ も満たす。よってこの領域は三角形ではなく、無限に広がる角である——閉じるための 3 本目の境界が存在しない。

6. 6

   領域を述べる。 $(3,0)$ を試すと $3\ge 2$ $\checkmark$ かつ $3+0=3\le 6$ $\checkmark$ なので内側である。解集合は

   $\{(x,y): x\ge 2\ \text{かつ}\ y\le 6-x\}$

   である。