直線 y = −4x + 2.5 と曲線 y = 3.34x/(1 + 2.34x) の交点を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $y$ を表す 2 つの式を等号でつなぐ。 交点ではどちらの式も同じ高さを与えるので、

   $-4x+2.5=\frac{3.34x}{1+2.34x}.$

   となる。条件 $x\ne-\frac{1}{2.34}\approx-0.4274$ を書き留めておく。そこでは分数関数が鉛直漸近線を持つので、そこに落ちる解があれば捨てなければならない。

2. 2

   分母を払う。 両辺に $1+2.34x$ を掛けると：

   $(-4x+2.5)(1+2.34x)=3.34x.$

   左辺を項ごとに展開すると：

   $-4x-9.36x^{2}+2.5+5.85x=-9.36x^{2}+1.85x+2.5.$

   交差して出る項は $-4x\cdot2.34x=-9.36x^{2}$ と $2.5\cdot2.34x=5.85x$ であり、$-4x+5.85x$ をまとめると $1.85x$ になる。

3. 3

   標準的な 2 次方程式の形にまとめる。 $3.34x$ を移項すると：

   $-9.36x^{2}+1.85x-3.34x+2.5=0\;\Longrightarrow\;-9.36x^{2}-1.49x+2.5=0,$

   となり、最高次の係数を正にするため $-1$ を掛けると：

   $9.36x^{2}+1.49x-2.5=0.$

4. 4

   解の公式を使う。 $a=9.36$、$b=1.49$、$c=-2.5$ として：

   $\Delta=1.49^{2}-4(9.36)(-2.5)=2.2201+93.6=95.8201,\qquad\sqrt{\Delta}=9.788774,$

   $x=\frac{-1.49\pm9.788774}{18.72}\ \Longrightarrow\ x\approx0.4433106\ \text{または}\ x\approx-0.6024986.$

   どちらも除外した値 $-0.4274$ ではないので、2 つとも生き残る。

5. 5

   $y$ の値を求め、分数関数の式で確かめる。 直線 $y=-4x+2.5$ を使うと：

   $x=0.4433106\Rightarrow y=0.726758,\qquad x=-0.6024986\Rightarrow y=4.909994.$

   代わりに曲線に代入すると $\frac{3.34(0.4433106)}{1+2.34(0.4433106)}=0.726758$ ✓、$\frac{3.34(-0.6024986)}{1+2.34(-0.6024986)}=4.909994$ ✓ となる。$y$ を計算するのに使ったほうではなくもう一方の式で確かめることが、これを本当の検証にしている。