(x > 3 または x < −2) かつ x ≥ −1 を満たす x をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   第 1 の条件を区間の和集合として書く。

   $x > 3 \ \text{ または } \ x < -2 \quad\Longleftrightarrow\quad x \in (-\infty,\, -2) \cup (3,\, \infty)$

   「または」は和集合であり、「かつ」は共通部分になる。この 2 つを取り違えるのが、この種の問題の主な罠である。

2. 2

   第 2 の条件を書く。

   $x \ge -1 \quad\Longleftrightarrow\quad x \in [-1,\, \infty)$

3. 3

   枝ごとに共通部分をとる。 共通部分は和集合に対して分配される：

   $\left(A \cup B\right) \cap C = \left(A \cap C\right) \cup \left(B \cap C\right)$

   第 1 の枝：$(-\infty, -2) \cap [-1, \infty) = \varnothing$ である。$-2$ より小さい数はすべて $-1$ よりも小さいからである。第 2 の枝：$(3, \infty) \cap [-1, \infty) = (3, \infty)$ である。$3 > -1$ なので、そこでは条件 $x \ge -1$ は不要になる。

4. 4

   枝を合わせる。

   $\varnothing \cup (3,\infty) = (3,\, \infty), \qquad \text{すなわち } x > 3$

5. 5

   3 つの値で試す。 $x = 4$：$x > 3$ と $x \ge -1$ をともに満たす——集合に入る。$x = -3$：$x < -2$ は満たすが $x \ge -1$ を満たさない——入らない。$x = 0$：$x \ge -1$ は満たすが第 1 の条件のどちらの枝も満たさない——入らない。答え $x > 3$ は 3 つとも説明できている。