不等式 x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   共通因数で割ってはいけない——引き算する。 両辺から $x^3+1$ を約分するのは致命的である。符号が分かっておらず、0 になることもあるからである。すべてを片側に寄せて因数分解する：

   $\left(x^3+1\right)\Big[x - \left(x^2-2\right)\Big] > 0 \quad \Longrightarrow \quad \left(x^3+1\right)\left(-x^2+x+2\right) > 0$

2. 2

   それぞれを完全に因数分解する。 1 つ目は立方の和、2 つ目は最高次の係数が負の 2 次式である：

   $x^3+1 = (x+1)\left(x^2-x+1\right)$

   $-x^2+x+2 = -(x-2)(x+1) = (2-x)(x+1)$

   因数 $x+1$ が両方に現れる。これがこの問題の核心である。

3. 3

   重なった因数をまとめる。 合わせると平方が現れる：

   $(x+1)\left(x^2-x+1\right)(2-x)(x+1) = (x+1)^2\left(x^2-x+1\right)(2-x) > 0$

   これを $x = 0,\ 3,\ -5,\ \tfrac74$ で展開し直すと $x(x^3+1) - (x^3+1)(x^2-2)$ に完全に一致するので、因数分解は正しい。

4. 4

   2 次の因数がつねに正であることを示す。 $x^2 - x + 1$ の判別式は

   $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$

   であり、最高次の係数は正なので、すべての実数 $x$ について $x^2 - x + 1 > 0$ である（最小値は $x = \tfrac12$ における $\tfrac34$）。したがって符号の分析からは完全に外してよい。

5. 5

   符号の条件を 1 つに絞る。 $x^2-x+1 > 0$ がつねに成り立ち、$(x+1)^2 \ge 0$ で等号が成り立つのは $x = -1$ のときだけなので、積が正になるのはちょうど

   $2 - x > 0 \quad \text{かつ} \quad x \ne -1$

   のときである。平方は符号を反転させるのではなく、$x = -1$ で解集合に穴をあける。そこでは積が $0$ になり、狭義の不等式が成り立たないからである。

6. 6

   解集合を述べ、抜き取り検査をする。

   $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2)$

   $-5$ から $5$ まで有理数を $1001$ 個並べて厳密演算で調べると、すべての点で一致する。なお、辺を入れ替えただけの $\left(x^3+1\right)\left(x^2-2\right) < x\left(x^3+1\right)$ も同じ答えになる。