不等式 (h + 0.9)/√(1 + h²) < h を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   分母を安全に払う。 どんな実数 $h$ に対しても $\sqrt{1+h^2} \ge 1 > 0$ なので、両辺に掛けても不等号の向きは変わらない：

   $h + 0.9 < h\sqrt{1+h^2}$

   次に $h$ を引いて $0.9$ を孤立させる：

   $0.9 < h\left(\sqrt{1+h^2} - 1\right)$

2. 2

   h ≤ 0 をただちに除く。 括弧の中はすべての $h$ について $\sqrt{1+h^2} - 1 \ge 0$ を満たすので、$h \le 0$ なら右辺は $\le 0$ であるのに対し、左辺は $0.9 > 0$ である。0 以下の $h$ は解になりえず、探す範囲は $h > 0$ に絞られる。

3. 3

   両辺が正だと分かった上で 2 乗する。 $h > 0$ のとき $h$ で割り、$1$ を加えると：

   $1 + \frac{0.9}{h} < \sqrt{1+h^2}$

   これで両辺とも正になったので、2 乗は片道の含意ではなく同値変形になる：

   $1 + \frac{1.8}{h} + \frac{0.81}{h^2} < 1 + h^2$

4. 4

   h の冪を払って 4 次不等式にする。 $1$ を引き、$h^2 > 0$ を掛ける：

   $1.8h + 0.81 < h^4 \quad \Longrightarrow \quad g(h) = h^4 - 1.8h - 0.81 > 0$

5. 5

   4 次式の唯一の正の根を求める。 $h > 0$ において $g'(h) = 4h^3 - 1.8$ が 0 になるのは $h = \sqrt[3]{0.45} \approx 0.7663$ のときだけなので、$g$ はいったん減少してから増加する。$g(0) = -0.81 < 0$ とあわせれば、正の根はちょうど 1 つである。$h_0 = 1.34$ から出発したニュートン法により

   $h_* = 1.3397213599 \quad (g(h_*) \approx 10^{-39} \ \text{（40 桁精度で）})$

   を得る。よく引用される値 $1.35082$ は誤りで、そこでは $g = +0.0881$ と 0 から大きく離れている。

6. 6

   解集合をまとめて確かめる。 $h > h_*$ では $g > 0$ なので、

   $h > 1.3397213599\ldots$

   である。もとの不等式に直接代入すると境界が確かめられる。$h = 1.339$ では左辺引く右辺が $+0.00075$（不成立）、$h = 1.3398$ では $-0.000082$（成立）、$h = 1.35$ では $-0.0107$（成立）である。丸めれば答えは $h > 1.3397$ となる。