直方体の体積は x³ − 3x² + 5x − 3、底面積は x² − 2 である。体積は底面積と高さの積なので、この直方体の高さを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   図形の関係を割り算に直す。 $V=A\cdot h$ から、

   $h=\frac{V}{A}=\frac{x^3-3x^2+5x-3}{x^2-2}$

   割る式は 2 次式なので組立除法は使えない。多項式の筆算をきちんとやる必要がある。

2. 2

   割り算の第 1 手：最高次の項を合わせる。 $x^3\div x^2=x$ なので、商の最初の項は $x$ である。掛けて引く：

   $x(x^2-2)=x^3-2x$
   $(x^3-3x^2+5x-3)-(x^3-2x)=-3x^2+7x-3$

3. 3

   割り算の第 2 手。 $-3x^2\div x^2=-3$ なので、商の次の項は $-3$ である。掛けて引く：

   $-3(x^2-2)=-3x^2+6$
   $(-3x^2+7x-3)-(-3x^2+6)=7x-9$

   余り $7x-9$ の次数は $1$ で、割る式の次数 $2$ より低いので、割り算はここで終わる。

4. 4

   高さを「商 + 余り ÷ 割る式」の形で書く。

   $h=x-3+\frac{7x-9}{x^2-2}$

   余りが零多項式ではないので、高さは多項式ではなく分数式である。この問題の数値では、単に割り切れないというだけのことである。

5. 5

   掛け戻して検算する。 $A\cdot h$ を組み立て直せば $V$ に戻るはずである：

   $(x^2-2)(x-3)+(7x-9)=x^3-3x^2-2x+6+7x-9=x^3-3x^2+5x-3\ \checkmark$

   $x=5$ では両辺とも $72$ になり、数値の上でもこの等式が確かめられる。

6. 6

   都合のよい値で高さを抜き取り検査する。 $x=2$ のとき $V=8-12+10-3=3$、$A=4-2=2$ なので、本当の高さは $\tfrac32$ である。式からは

   $(2-3)+\frac{14-9}{4-2}=-1+2.5=1.5\ \checkmark$

   が得られる。