(x³ + 6x² + 11x + 6) ÷ (x² + 4x + 3) の商を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   割る前に商の次数を予測する。 次数は引き算になる。3 次式を 2 次式で割るので、商の次数は $3 - 2 = 1$ である。したがって答えは 1 次式 $x + c$ の形であり、定数だけの選択肢や 2 次式の選択肢はこの時点で除外できる。

2. 2

   1 回目：割る式の最高次の項で割る。 2 次式で割るので、$x$ ではなく $x^2$ で割る。

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   割る式全体に $x$ を掛けて引く。

   $x(x^2 + 4x + 3) = x^3 + 4x^2 + 3x$

   $(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) - (x^3 + 4x^2 + 3x) = 2x^2 + 8x + 6$

3. 3

   2 回目：次数がちょうど打ち消し合う。 残りの最高次の項は $2x^2$ で、割る式と同じ次数である。

   $\frac{2x^2}{x^2} = 2$

   よって次の商の項は $2x$ ではなく定数 $2$ である。割る式の次数を取り違えると誤答になるのは、まさにこの段階である。

4. 4

   引き算して割り切れることを確かめる。 掛け戻すと

   $2(x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 8x + 6$

   $(2x^2 + 8x + 6) - (2x^2 + 8x + 6) = 0$

   余りは $0$ なので、商はちょうど $x + 2$ である。

5. 5

   両方の多項式を因数分解して検算する。 どちらも整数の範囲で完全に因数分解できる。

   $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x+1)(x+2)(x+3), \qquad x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

   共通因数 $(x+1)(x+3)$ を約分すると $x + 2$ が残り、筆算の結果と一致する。これで $x \neq -1, -3$ のとき常に割り切れることも確認できる。