連立不等式 x + y ≤ 6、x ≥ 2 を図示し、解の領域を説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1 つ目の不等式を $y$ について解いた形に書き直す。 $x$ を引くと、

   $y\le 6-x.$

   となる。「$y\le$」の形にしておけば、境界の直線のどちら側を塗るかがすぐ分かる。上ではなく下である。

2. 2

   2 本の境界線をかく。 1 つ目の境界は $y=6-x$ であり、$(0,6)$ と $(6,0)$ を通る傾き $-1$ の直線である。2 つ目の境界は鉛直な直線 $x=2$ である。どちらの不等号にも等号が付いている（$\le$、$\ge$）ので、2 本とも実線でかき、解に含まれる。

3. 3

   それぞれの領域を塗り、重なりを取る。 $y\le 6-x$ については斜めの直線上とその下側をすべて塗り、$x\ge 2$ については $x=2$ 上とその右側をすべて塗る。解集合は、この 2 つの塗られた半平面の共通部分である。

4. 4

   角を求める。 2 本の境界は $x=2$ かつ $y=6-2=4$ で交わるので、領域の頂点は $(2,4)$ である。そこから領域は下方向と右方向に開いており、$x$ や $-y$ がいくらでも大きくなれるので有界でない。

5. 5

   領域を書き、点で確かめる。 解は

   $\{(x,y)\;:\;x\ge 2\ \text{かつ}\ y\le 6-x\}.$

   である。$(3,1)$ を確かめると $3\ge2$ ✓ かつ $3+1=4\le6$ ✓ なので領域に入る。$(1,1)$ では $1\ge2$ が成り立たないので外れる。$(4,3)$ では $4\ge2$ ✓ だが $4+3=7>6$ なので外れる。角 $(2,4)$ 自身は両方を等号で満たし、含まれる。