不等式 |2x + 5| < 13 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $|A|<b$ を距離の記述として読む。 $|2x+5|$ は数直線上で $2x+5$ から $0$ までの距離である。その距離が $13$ より小さいことを要求すると、この式は $-13$ と $13$ の間に閉じ込められる。「未満」型の絶対値不等式が 2 本の別々の枝ではなく 1 本の連結不等式になるのは、そのためである：

   $-13<2x+5<13$

2. 2

   3 つの部分すべてから 5 を引く。 連結不等式のどの部分にも同じ数を足し引きするだけなら、不等号の向きは決して変わらない：

   $-13-5<2x<13-5\qquad\Longrightarrow\qquad-18<2x<8$

3. 3

   3 つの部分すべてを 2 で割る。 割る数 $2$ は正なので、どちらの不等号も同じ向きのまま残る。負の数で割るなら反転が必要になるのは、まさにこの段階である：

   $-9<x<4$

4. 4

   答えを 2 通りの書き方で述べる。 不等式の形なら $-9<x<4$、区間の記法なら $(-9,4)$ である。もとの比較が狭義だったので、両端点はどちらも除かれる。

   $x=-9$ では $|2(-9)+5|=|-13|=13$ となり、これは $13$ より小さくないので、端点が開いていることが確かめられる。

5. 5

   数直線全体で検証する。 $|2x+5|<13$ を、主張した区間と $-15$ から $11$ までの $260$ 個の厳密な有理点で直接突き合わせると、どこでも一致する ✓。抜き取り検査では、$x=0$ で $|5|=5<13$ ✓（内側）、$x=5$ で $|15|=15$ ✗（外側）となる。