a(x − 4)² + b < 10 の解集合が k − 8 < x < 2k + 1 であるとき、k を求めよ。

Step-by-step solution

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   対称軸を見つける。 式 $a(x-4)^2+b$ は標準形になっている。グラフは頂点が $x=4$ にある放物線であり、鉛直な直線 $x=4$ について対称である。$a$ や $b$ をどう取ってもこの直線は動かない。

2. 2

   区間の中心が対称軸に乗ることを示す。 解集合は有界である（2 本の半直線の和ではなく 1 つの区間である）から $a>0$ でなければならない。上に開いた放物線は、水平な直線 $y=10$ より下にただ 1 つの区間で沈む。その 2 つの境界点は $a(x-4)^2+b=10$ すなわち $(x-4)^2=\frac{10-b}{a}$ を満たす点であり、$x=4\pm\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$ となる。つまり4 から等距離にある。よって解の区間の中点はちょうど $4$ である。

3. 3

   与えられた区間の中点を 4 と等しいと置く。

   $\frac{(k-8)+(2k+1)}{2}=4\quad\Rightarrow\quad \frac{3k-7}{2}=4\quad\Rightarrow\quad 3k-7=8$

4. 4

   $k$ について解く。

   $3k=15\quad\Rightarrow\quad k=5$

5. 5

   区間を検算し、つぶれていないことを確かめる。 $k=5$ のとき端点は $k-8=-3$ と $2k+1=11$ なので、解集合は $-3<x<11$ であり、その中点は $\frac{-3+11}{2}=4$ ✓ で対称軸と一致する。区間は本当に空でなく（$-3<11$）、正しい解集合が満たすべき条件を満たしている。

6. 6

   与えられた条件が何を決め、何を決めないかを押さえる。 半分の幅は $11-4=7$ なので $49a+b=10$、すなわち $b=10-49a$ である。$a>0$ でありさえすれば、その $b$ と組にしたどの値も同じ区間を生む。したがって $a$ と $b$ は個別には定まらないのに、$k=5$ は一意に決まる。