a(x − 1)/(x − 2) > 2 の解集合を A とする。3 が A に属さないとき、a の範囲を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   一般の形で不等式を解こうとしない。 すべての $a$ について $A$ を決めるには、$a$ の符号と $x=2$ の極についての場合分けを含む符号表が要る。しかし問われているのは 1 点だけなので、その点で値を計算すればよい。近道はそれだけである。

2. 2

   $x=3$ が定義域に入っていることを確かめる。 式が定義されないのは $x=2$ のときだけである。$3\ne 2$ なので $x=3$ は定義域に属し、「$3\notin A$」は、そこで定義されないという意味ではなく、$x=3$ で不等式が成り立たないという意味になる。

3. 3

   $x=3$ を代入する。

   $\frac{a(3-1)}{3-2}=\frac{2a}{1}=2a$

   したがって $3$ が $A$ に属するという条件は、ちょうど $2a>2$ という主張である。

4. 4

   属するという条件を否定する。 $3\notin A$ は、狭義の不等式が成り立たないという意味である：

   $2a>2\ \text{は偽}\iff 2a\le 2\iff a\le 1$

   狭義の不等式の否定には等号が含まれるので、$a=1$ も許される。このとき左辺はちょうど $2$ になり、$2$ より大きくはないからである。

5. 5

   境界とそのすぐ外側で検算する。 $a=1$ のとき $\tfrac{1(3-1)}{3-2}=2$ であり、$2>2$ は偽なので $3\notin A\;\checkmark$。$a=1.5$ のとき値は $3>2$ となるので $3\in A$ であり、正しく除かれている。$a=0$ のとき値は $0>2$ で偽なので $3\notin A\;\checkmark$。よって範囲は $a\le 1$ である。