f(x) は 3 次式で、(x + 1)f(x) を x³ + 2 で割った余りは x + 2 である。f(0) = 4 のとき、f(2) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   除法の等式を書く。 「$x^3+2$ で割った余りが $x+2$」とは、ある多項式 $Q(x)$ が存在して次が成り立つという意味である。

   $(x+1)f(x)=(x^3+2)Q(x)+x+2$

   この 1 本の等式が仮定の内容のすべてであり、以下はすべてここから従う。

2. 2

   $Q$ の次数を確定する。 $f$ は 3 次式なので $(x+1)f(x)$ の次数は $4$ である。積 $(x^3+2)Q(x)$ がその次数 $4$ を与えねばならないので $\deg Q=1$ である。そこで

   $Q(x)=ax+b$

   と置く。この問題が解けるのはまさにこのためであり、未知数は 2 つしか残らない。

3. 3

   左辺の因数 $x+1$ を使う。 左辺は $x=-1$ でゼロになるので、右辺もそうでなければならない。$(x^3+2)(ax+b)+x+2$ に $x=-1$ を代入すると：

   $(-1+2)(-a+b)+1=0\;\Longrightarrow\;b-a+1=0\;\Longrightarrow\;b=a-1$

4. 4

   $f(0)=4$ を使う。 $x=0$ を代入すると、左辺は $(0+1)f(0)=4$、右辺は $(0+2)(b)+0+2=2b+2$ となるので

   $2b+2=4\;\Longrightarrow\;b=1\;\Longrightarrow\;a=2$

   したがって $Q(x)=2x+1$ である。

5. 5

   $x=2$ で値を求める。 $Q$ が分かったので、

   $(2+1)f(2)=(2^3+2)(2\cdot 2+1)+2+2=10\cdot 5+4=54$

   よって $3f(2)=54$ であり、$f(2)=18$ である。

6. 6

   $f$ を実際に求めて検算する。 展開すると $(x+1)f(x)=2x^4+x^3+5x+4$ である。$x+1$ で割ると

   $f(x)=2x^3-x^2+x+4$

   となる。確かに $f(0)=4$、$f(2)=16-4+2+4=18$ であり、$2x^4+x^3+5x+4-(x^3+2)(2x+1)=x+2$ がちょうど成り立つ。