(2x − 1)/(x − 1)² を部分分数に分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   重なった因数が要求する型を選ぶ。 分母は 1 次因数 $(x-1)$ を $2$ 乗したものなので、分解には $1$ から $2$ までのすべてのべきに対する項が必要である：

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   $(x-1)^2$ の項だけにすると、1 次の分子に対して未知数が 1 つしかなく、一般には対応できない。

2. 2

   分母を払う。 両辺に $(x-1)^2$ を掛けると：

   $2x-1=A(x-1)+B$

3. 3

   展開して $x$ のべきでまとめる。

   $2x-1=Ax+(B-A)$

4. 4

   係数を比較する。 $x$ の項を合わせると $A=2$、定数項を合わせると $B-A=-1$ なので、

   $B=A-1=1$

5. 5

   代入による近道で交差検証する。 $2x-1=A(x-1)+B$ に $x=1$ を入れると $A$ の項がただちに消え、$B=2(1)-1=1$ ✓ が得られる——係数比較の結果を独立に裏づける有用な方法である。

6. 6

   結果を述べ、数値でも検証する。

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   $x=3$ のとき：左辺 $=\tfrac{5}{4}=1.25$、右辺 $=\tfrac{2}{2}+\tfrac{1}{4}=1.25$ ✓。$x=0.5$ のとき：左辺 $=0$、右辺 $=-4+4=0$ ✓。