不等式 |ax + 5| ≤ b の解集合が −4 ≤ x ≤ 6 であるとき、a − b を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不等式を「中心と半径」の形に書き換える。 $a\ne 0$ のとき、

   $|ax+5|\le b\iff |a|\left|x+\frac5a\right|\le b\iff \left|x-\left(-\frac5a\right)\right|\le\frac{b}{|a|}$

   よって解集合はつねに、中心 $-\tfrac5a$、半径 $\tfrac{b}{|a|}$ の閉区間である。$a$ の符号で場合分けせずに済むのが、この近道の利点である。

2. 2

   与えられた区間から中心と半径を読み取る。 $[-4,6]$ については、

   $\text{中心}=\frac{-4+6}{2}=1,\qquad \text{半径}=\frac{6-(-4)}{2}=5$

3. 3

   中心を対応させて $a$ を求める。

   $-\frac{5}{a}=1\ \Longrightarrow\ a=-5$

4. 4

   半径を対応させて $b$ を求める。 $|a|=5$ なので、

   $\frac{b}{5}=5\ \Longrightarrow\ b=25$

   ここで $b=25\ge 0$ であることに注意する。これは必要な条件であり、$b$ が負なら $|ax+5|\le b$ には解がない。

5. 5

   $a-b$ を計算し、もとの不等式で検算する。

   $a-b=-5-25=-30$

   確かめよう。$a=-5$、$b=25$ とすると不等式は $|-5x+5|\le 25$、すなわち $5|x-1|\le 25$、すなわち $|x-1|\le 5$、すなわち $-4\le x\le 6$ となり、与えられた解集合とちょうど一致する。端点では $|-5(-4)+5|=25$ と $|-5(6)+5|=25$ となり、等号が要求するとおりどちらも上限に達している。

6. 6

   一般的な手法。 どんな $|ax+c|\le b$ についても、解の区間の中点は $-c/a$、その半分の長さは $b/|a|$ である。この 2 つの数を与えられた区間の中点と半分の長さに等しいと置けば、符号の場合分けなしに $a$ と $b$ が一度に決まる。