a と b を実数の定数とみて、不等式 a(x − 4)² + b < 10 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗の項を孤立させる。 両辺から $b$ を引く：

   $a(x-4)^2<10-b$

   まだ $a$ で割ることはできない。$a$ は零かもしれず、負かもしれないからである。まさにそれが場合分けを強いる。

2. 2

   $x$ が丸ごと消えるので、まず $a=0$ の場合。 不等式は $x$ をまったく含まない、定数についての主張 $b<10$ につぶれる：

   $b<10\Rightarrow x\in\mathbb{R};\qquad b\ge 10\Rightarrow x\in\varnothing$

3. 3

   場合 $a>0$：反転させずに割る。

   $(x-4)^2<\frac{10-b}{a}$

   $b\ge 10$ なら右辺は $\le 0$ であり、平方が非正の数より真に小さくなることはあり得ないので、解集合は空である。$b<10$ なら右辺は正で $|x-4|<\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$ となり、有界な区間

   $4-\sqrt{\frac{10-b}{a}}<x<4+\sqrt{\frac{10-b}{a}}$

   が得られる。

4. 4

   場合 $a<0$：割って反転させる。

   $(x-4)^2>\frac{10-b}{a}$

   商の符号に注意すること。$a<0$ のもとで $b<10$ なら $\tfrac{10-b}{a}$ は負になるので、不等式はすべての $x$ で成り立ち、答えは $\mathbb{R}$ である。$b=10$ なら右辺は $0$ で、$(x-4)^2>0$ が除くのは $x=4$ だけである。

5. 5

   場合 $a<0$ かつ $b>10$：2 本の半直線。 このとき $\tfrac{10-b}{a}>0$（負を負で割る）なので、$c=\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$ と置けば $|x-4|>c$ となり：

   $x<4-c\quad\text{または}\quad x>4+c$

6. 6

   7 つの分岐のうち 2 つを数値で抜き取り検査する。 $a=2$、$b=2$ とすると区間は $4\pm\sqrt{4}=(2,6)$ になるはずで、実際 $x=3$ では $2(1)+2=4<10$ $\checkmark$、$x=7$ では $2(9)+2=20\not<10$ $\checkmark$ である。$a=-1$、$b=19$ とすると $c=\sqrt{9}=3$ で、$x<1$ または $x>7$ が予測される。$x=0$ では $-16+19=3<10$ $\checkmark$、$x=4$ では $19\not<10$ $\checkmark$ である。